Description：

给定 $n$ ，求合法的 $\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{2m}\}$ 组数，一组 $\{x\}$ 是合法的当且仅当

• $\forall i\in[1,2m],\ x_i\in Z^+,\ x_i|n$
• $\begin{align}\prod_{i=1}^{2m}x_i\le n^m\end{align}$

$1\le n \le 10^9$ $m \le 100$

Solution：

若一组 $\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{2m}\}< n^m$ ，那么 $\{\frac n{x_1},\frac n{x_2},\frac n{x_3},\dots,\frac n{x_{2m}}\}>n^m$ ，设小于 $n^m$ 的组数记为 $S_1$ ，等于 $n^m$ 的组数记为 $S_2$ ，大于的记为 $S_3$ ，那么由于 $S_1$ 和 $S_3$ 中的方案一一对应，所以 $S_1=S_3$ ，由于 $S_1+S_2+S_3=\sigma_0(n)^{2m}$ ，所以只要计算出 $S_2$ 即可，可以把每一个质因数分别考虑， $f[i][j]$ 表示 $i$ 个人指数和为 $j$ ，转移时直接枚举最后一个数的指数转移。

Code：

nclude<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

using namespace std;

int n,m;

#define MAXM 101

typedef long long ll;

ll f[MAXM << 1][31 * MAXM];

int sigma0 = 0;

int fac[MAXM],cnt[MAXM],tot = 0;

#define MOD 998244353

ll power(ll a,int b)

{

	ll res = 1;

	while(b > 0)

	{

		if(b & 1)res = res * a % MOD;

		a = a * a % MOD;

		b = b >> 1;

	}

	return res;

}

int main()

{

	freopen("count.in","r",stdin);

	freopen("count.out","w",stdout);

	cin >> n >> m;

	int s = n;

	for(int i = 1;i * i <= n;++i)

	{

		if(n % i == 0)

		{

			++sigma0;

			if(i * i != n)

			{

				++sigma0;

			}

		}

	}

	for(int i = 2;i * i <= n;++i)

	{

		if(s % i == 0)

		{

			fac[++tot] = i;

			while(s % i == 0){s /= i;++cnt[tot];}

		}

	}

	if(s != 1)fac[++tot] = s,cnt[tot] = 1;

	ll S2 = 1;

	for(int k = 1;k <= tot;++k)

	{

		memset(f,0,sizeof(f));

		f[0][0] = 1;

		for(int i = 1;i <= 2 * m;++i)

		{

			for(int j = 0;j <= cnt[k] * m;++j)

			{

				for(int l = 0;l <= cnt[k];++l)

				{

					if(j - l >= 0)f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - l]) % MOD;

				}

			}

		}

		S2 = (S2 * f[2 * m][cnt[k] * m]) % MOD;

	}

	cout << (power(sigma0,2 * m) + S2) % MOD * power(2,MOD - 2) % MOD << endl;

	fclose(stdin);

	fclose(stdout);

	return 0;

}